初一数学应用题,什么情况下用不等式,什么情况下列二元一次方程,有哪些注意事项?

初一数学应用题,什么情况下用不等式,什么情况下列二元一次方程,有哪些注意事项?


由网友 胡老师数学教育 提供的答案:

二元一次方程组的应用

运用二元一次方程组解应用题的基本思路:

把“未知”转化为“已知”,关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系,用文字关系式表示出等量关系,再根据题目需要设出未知数,将相关量都用含有未知数的代数式表示,再用含有未知数的代数式替代各个关系量,列出方程。

一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件。运用方程组解决应用题的关键就是先找准等量关系,在寻找等量关系时需要认真分析题目的条件,寻找存在和表示等量关系的语句。

基本步骤:

1.审题:弄清题意及题目中的数量关系;

2.设未知数:可直接设元,也可间接设元;3.找出题目中的等量关系;

4.列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;

5.解所列的方程组,并检验解的正确性;

6.写出答案.


一元一次不等式的应用

运用不等式(组)解应用题的基本思路:

运用不等式解决应用题的关键在于找准不等关系式,然后用数字和数学符号写不等式,解不等式即可,最后的结果是解集,一般是一个范围,再根据题目条件和实际情况选择合适的解。

基本步骤:

①认真审题,分析已知量、未知量和不等关系,并用文字式简略表示出来;

②根据题目需要设出适当的未知数,并且将相关量都用含有未知数的代数式表示出来。

③将用文字表示的表达式用代数式和不等符号替换,根据不等关系列出不等式;

④求出不等式的解集,检验求得的解集是否符合题意,写出答案。

不等式与方程的应用

不等式与方程在应用上有区别,需要根据题目已知一直条件和需要解决的问题来判定,一般来说,存在等量关系,求未知量的值就需要运用方程(组)来解答;题目中存在不等关系量,求未知量的范围或特殊解就需要运用不等式来解答。

看一道方程和不等式的应用题:

分析题目条件,可以得到两组等量关系式:A型放大镜的价格×8+B型放大镜的价格×5=220元,A型放大镜的价格×4+B型放大镜的价格×6=152元,可以根据这两组等量关系式列方程组解方程组即可求出两种放大镜的单价。

第(2)小问,存在一组等量关系式,A型放大镜的数量+B型放大镜的数量=75个;有表示不等关系的关键字“不超过”,用不等号来表示也就是小于等于(≤),存在一组不等关系式子:A型放大镜的总价+B型放大镜的总价≤1180元,求的是A型放大镜的特殊值,最多数量,需要用不等式来解答。

学会了吗?来练习一道中考真题:


由网友 深圳精英数学团队 提供的答案:

深圳精英数学团队为你解答分享:

1.解题方法:

先审透等量关系式,再列方程或函数表达式;特别注意:是审“透”等量关系式,即审到等量关系式不能用中文字描述为止(再审下去,就只能用数字或字母描述),绝对不能采用“语文阅读理解式”的审题方法,记住:绝大部分应用题出错,就错在这---审题不细审题不透、边审边列方程。

2.审题技巧:

①初中应用题,一般都存在这种现象:用过的条件基本不会再用-----审等量关系式或列式用过的语句,一般可以边审边划掉,这样对应用题题意的理解有帮助,特别是题目很长或较复杂的应用题,有很大帮助。

②一般情况下,应用题所列方程的等号右边多为具体数字,这对我们确定等量关系有帮助(因为一道应用题的等量关系不止一个).

③在列不等式(组)解应用题时,注意抓住题目中的“表示不等关系的词语”确定等量关系式。

(一)方程类应用题:

包括一元一次方程解应用题、二元一次方程组解应用题、一元一次不等式(组)解应用题、分式方程解应用题、二元一次方程解应用题

例1.(分式方程与不等式应用题)深圳地铁9号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程除承担,已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的2/3,甲工程队单独工作30天后,乙工程队参与合做,两队又共同工作了36天完成.

(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天?

(2)因工期的需要,将此项工程分成两部分,甲做其中一部分用了x天完成,乙做另一部分用了y天完成,其中x,y均为正整数,且x<46,y<52,求甲、乙两队各做了多少天?

例2.(一元二次方程应用题)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?

(二)函数类应用题:

包括一次函数应用题、反比例函数应用题和二次函数应用题。

总体解题思路:函数的应用题中的等量关系有特殊意义----它的等量关系一般是自变量与因变量之间的关系(即),所以审透等量关系式,实质是理解函数中的在实际题目中所表示的量是什么或表示的意义是什么,运用“待定系数法”来寻找两个变量之间的关系,或用代入求值的方法解决在题中所表示那个量的值。提醒:可能是解析式中的,也可能是交点坐标的.

例3.为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800米耐力测试中,小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑,同时到达终点;所跑的路程S(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第______秒.

解析:第一次相遇,即是直线OA与BC的交点,而相遇时间即为交点坐标中的“x”值;分别求出OA、BC的解析式,然后联立方程,解方程就可以求出第一次相遇时间.

设直线OA的解析式为y=kx,代入A(200,800)得800=200k,解得k=4,故直线OA的解析式为y=4x,设BC的解析式为y1=kx+b,由题意,得360=60k+b,540=1500k+b,解得:k=2,b=240,∴BC的解析式为y1=2x+240,当y=y1时,4x=2x+240,解得:x=120.则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒.

例4.某公司从2014年开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的成本不断降低,具体数据如下表:

(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;

(2)按照这种变化规律,若2017年已投入资金5万元.

①预计生产成本每件比2016年降低多少万元?

②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需要投入技改资金多少万元?(结果精确到0.01万元).

解析:(1)根据实际题意和数据特点分情况求解,用待定系数法确定函数解析式,再用排除法可知其为反比例函数;若其为一次函数,设解析式为y=kx+b,当x=2.5时,y=7.2;当x=3时,y=6,∴2.5k+b=7.2,3k+b=6,解得k=﹣2.4,b=13.2∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2,把x=4时,y=4.5代入此函数解析式,左边≠右边.∴其不是一次函数.设其为反比例函数.解析式为y=k/x.当x=2.5时,y=7.2,解得k=18∴反比例函数是y=18/x.验证:当x=3时,y==6,x=4时,y=4.5,x=4.5时,y=4成立,符合反比例函数.可用反比例函数y=18/x表示其变化规律.

(2)①题中的“投入资金5万”其实质就是函数表达式中的“x”;②题中的“成本降低到3.2万”其实质就是函数表达式中的“y”;用代入求值的方法即可求另一个值;①当x=5万元时,y=3.6.4﹣3.6=0.4(万元),∴生产成本每件比2009年降低0.4万元.②当y=3.2万元时,3.2=18/x,∴x=5.625,∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13(万元),∴还约需投入1.13万元.

例5.为备战2016年里约奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光.如图,已知排球场OD的长度为18米,位于球场中线处球网的高度为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)当球上升的最大高度为3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式.(不要求写自变量的x取值范围)

(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,她起跳后的最大高度为3.1米,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.

解析:此题中有关距离的数据即是“x”,有关高度的数据即是“y”;

(1)∵排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最大高度3.2米,∴抛物线的顶点坐标为(7,3.2),设抛物线的解析式为:y=a(x-7)*2+3.2,∵抛物线过点C(0,1.8),∴a=-1/35,∴排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式为:y=-1/35(x-7)*2+3.2.(2)∵OF=18/2+0.5=9.5,∴当x=9.5时,y=423/140<3.1,∴她可以拦网成功.

例6.怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元.

(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份?

(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?

解析:(1)根据“营业额=1120,总利润=280元”这两个等量关系式列二元一次方程组解题

设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份,根据题意得,20x+18y=1120,(20-14)x+(18-14)y=280,解得:x=20,y=40.

(2)初三应用题中的最值问题,多与二次函数有关,抓住“总利润=A的利润+B的利润、利润=(售价-成本)×销量”,表示出总利润的二次函数解析式,再通过配方的方法求出总利润的最值。设A种菜品售价降0.5a元,即每天卖(20+a)份;总利润为w元因为两种菜品每天销售总份数不变,所以B种菜品卖(40﹣a)份,每份售价提高0.5a元.w=(20﹣14﹣0.5a)(20+a)+(18﹣14+0.5a)(40﹣a)=(6﹣0.5a)(20+a)+(4+0.5a)(40﹣a)=(﹣0.5a*2﹣4a+120)+(﹣0.5a*2+16a+160)=﹣a*2+12a+280=﹣(a﹣6)*2+316,当a=6,w最大,w=316

数学反思:

想学好数学,最需要的不是多听多练,还是多思考,特别需要多反思、多归纳与总结!把握住应用题的审题方法与技巧,就抓住了应用题题型变化,这比多做几道应用题,效果要好很多。





由网友 数理化王老师678 提供的答案:

很多的初一的学生在学了不等式后,对于应用题中应该列不等式组还是列二元一次方程举旗不定或者直接不做,导致失分。

其实没有那么难,掌握以下技巧,就轻松很多。

当题目中出现(不少于,不多于,不超过,求最大利润,最小成本)几个关键词时,一般列不等式组,求出未知数的取值范围,要取值范围中的正整数为结果。

注意事项:

(1)初中数学不等式只能有一个未知数,另一个未知数用(总数―已设的未知数)表示。

(2)最少有两个不等式才能求出应用题的整数解。

(3)有的题目中,令相关的未知数大于0是隐含的条件。因为具体的应用题中,数一般不能为负的。

相关例题讲解请关注“数理化王老师678”


由网友 an519966 提供的答案:

1.题中含有不等关系的应用题一般用不等式解决,题中一般有:至少,最多,不低于,不超过.2.找出的等量关系中有两个未知数时可列二元一次方程,初中主要是二元一次方程组.3.一元二次方程主要类型有增长率问题,面积问题,盈利问题等

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